Jumalatega võidu. Tähelepanuväärne lugu riskist. Peter L. Bernstein
jaoks olid kalendriaeg, navigatsioon ja geograafia väga tähtsad ning need tegurid vajasid järjest täpsemaid arvutusi.
Esimesed astronoomid olid preestrid ja astronoomiast tekkis matemaatika. Kui inimesed said aru, et kividele ja pulkadele tõmmatud sälkudest enam ei piisa, hakkasid nad jagama arve kümnestesse või kahekümnestesse gruppidesse, mida oli lihtne sõrmedel ja varvastel lugeda.
Kuigi egiptlastest said osavad astronoomid ja nad oskasid vilunult ennustada, millal Niiluse jõgi piirkonna üle ujutab või tagasi tõmbub, ei tulnud tuleviku juhtimine või mõjutamine neile kunagi isegi mitte pähegi. Muutus ei kuulunud nende vaimsetesse protsessidesse, mille üle valitsesid harjumused, hooajalisus ja austus mineviku vastu.
Umbes aastal 450 eKr lõid kreeklased tähtedel põhineva arvusüsteemi, kus kasutati Kreeka tähestiku 24 tähte ja veel 3 tähte, mis muutusid hiljem üleliigseks. Oma täht oli kõigil numbritel vahemikus 1–9 ja kõigil kümnetel. Näiteks sümbol „pii“ tuleb kreekakeelse sõna penta esimesest tähest, mis tähendas arvu „viis“; „kümmet“ tähistava sõna deca esimene täht delta tähistas numbrit kümme, tähestiku esimene täht alfa tähistas numbrit 1 ja roo tähistas arvu 100. Seega kirjutati arv 115 roo-deca-penta ehk ρδπ. Kuigi heebrealased olid semiidid, mitte indoeurooplased, kasutasid nad sama tüüpi tähtedel põhinevat arvusüsteemi.33
Need tähtnumbrid olid küll kasulikud selleks, et inimesed saaksid tugevamaid struktuure ehitada, kaugemale reisida ja täpsemalt aega arvestada, aga süsteem oli tõsiselt piiratud. Tähti oli väga keeruline liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks või jagamiseks kasutada ja peastarvutamisel oli see peaaegu võimatu. Need numbrite asendajad ei võimaldanud muud, kui andsid vahendi teiste meetoditega, enamasti abakuse või arvelauaga tehtud arvutuste tulemuste ülestähendamiseks. Ajaloo kõige vanem arvutusvahend abakus valitses matemaatilist maailma kuni India-Araabia arvusüsteem umbes vahemikus 1000–1200 pKr lavale astus.
Abakuse tööpõhimõte on järgmine: igas tulbas määratakse kindlaks maksimaalne nuppude arv. Kui liites täitub kõige parempoolsem tulp, liigutatakse üleliigsed nupud ühe tulba võrra vasakule ja nõnda edasi. Meie mõisted „laena üks“ ja „vii kolm üle“ pärinevad abakuse ajastust.34
Hoolimata selliste varajaste matemaatikavormide piirangutest, võimaldasid need teha teadmistes suuri edasiminekuid, seda eelkõige kujundite keeles geomeetrias ning selle paljudes rakendustes astronoomias, navigatsioonis ja mehaanikas. Nendes valdkondades tegid kõige muljetavaldavamaid edusamme kreeklased ja nende kolleegid Aleksandrias. Ainult Piiblist on ilmunud rohkem väljaandeid ja trükke kui Eukleidese kõige kuulsamast raamatust „Elemendid“.
Siiski ei olnud kreeklaste suurim panus teaduse uuendamine. Lõppude lõpuks olid Egiptuse ja Babüloonia templite preestrid õppinud geomeetria kohta üpris palju juba ammu enne Eukleidese lavaleastumist. Isegi kuulus Pythagorase teoreem (täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga) oli Tigrise ja Eufrati jõgede orus kasutusel juba 2000 aastat eKr.
Kreeklaste vaimsuse ainulaadne joon oli nõuda kindlat tõestust. Küsimus „miks?“ oli nende jaoks tähtsam kui küsimus „mis?“. Kreeklased suutsid põhiküsimused ümber sõnastada, sest nende tsivilisatsioon oli esimene tsivilisatsioon kogu ajaloos, kes oli prii kõikvõimsa preesterkonna pealesurutud intellektuaalsest hullusärgist. Needsamad hoiakud viisid selleni, et kreeklastest said maailma esimesed turistid ja kolonisaatorid, kes muutsid Vahemere piirkonna oma isiklikuks jahireservaadiks.
Selle tulemusel olid kreeklased elukogenumad ja keeldusid võtmast puhta kullana rusikareegleid, mida vanemad ühiskonnad olid neile pärandanud. Neid ei huvitanud üksikud näited; nende eesmärk oli leida ideed, mis kehtiksid igal pool ja igal juhtumil. Näiteks oli seda, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne selle kaatetite ruutude summaga, võimalik kindlaks teha ainult mõõtmistega. Kuid kreeklased küsisid, miks peaks see olema nii kõigi täisnurksete kolmnurkade puhul, nii väikeste kui ka suurte puhul, ilma et reeglil oleks ühtegi erandit. Kogu Eukleidese geomeetria sisu ongi tõendamises. Ja pärast seda valitsevad matemaatilise teooria üle igavesti tõendid, mitte arvutused.
Selline täielik lahtiütlemine teiste tsivilisatsioonide analüütilistest meetoditest paneb taas kord imestama, miks kreeklastel ei õnnestunud avastada tõenäosusteooriat ega matemaatilise analüüsi seaduspärasusi ega isegi mitte lihtsat algebrat. Võib-olla oli see kõigist kreeklaste saavutustest hoolimata nii seetõttu, et nad pidid sõltuma kohmakast tähestikul põhinevast arvusüsteemist. Roomlased kannatasid sama puude käes. Nii lihtsa arvu nagu 9 kirjutamiseks oli vaja kahte tähte: IX. Roomlastel polnud võimalik kirjutada arvu 32 kui III II, sest poleks olnud võimalik kuidagi aru saada, kas see tähendas numbrit 32, 302, 3020 või mõnda pikemat kombinatsiooni numbritest 3, 2 ja 0. Sellisele süsteemile oli võimatu arvutusi rajada.
Kuid parema arvusüsteemi avastamine ei juhtunud enne, kui umbes 500 pKr, kui hindud lõid selle arvusüsteemi, mida tänapäeval kasutame. Kes selle imelise leiutise peale tuli ja millised olud aitasid leiutisel kogu Hindustani poolsaarel levida, jääb saladuseks. Araablased kohtusid uute numbritega esimest korda umbes 90 aastat pärast seda, kui Muhamed 622. aastal proselüüdina islami usu rajas ning tema ühtseks võimsaks rahvuseks ühendatud järgijad Indiasse ja sealt kaugemale liikusid.
Uus arvusüsteem mõjus läänes asuvates maades intellektuaalsele tegevusele virgutavalt. Bagdad, niigi suur hariduskeskus, kerkis esile kui matemaatilise teadustöö ja tegevuse kese, ning kaliif hoidis oma palgal juudi õpetlasi, et need tõlgiks selliste matemaatiliste teerajajate teoseid nagu Ptolemaios ja Eukleides. Varsti ringlesid matemaatikute peamised teosed kogu Araabia impeeriumis ning 9. ja 10. sajandiks kasutati neid juba nii kaugel läänes nagu Hispaanias.
Tegelikult oli üks läänepoolne elanik esitlenud arvusüsteemi vähemalt kaks sajandit varem kui hindud. Umbes aastal 200 eKr kirjutas Aleksandria matemaatik Diophantos traktaadi, milles ta tõi esile, millised eelised oleks sellel, kui arvude tähtedega asendamise asemel kasutataks tõeliste numbritega süsteemi.35
Diophantosest pole teada palju, kuid see vähene, mida teame, on lõbustav. Matemaatika ajaloo uurija Herbert Warren Turnbulli sõnul kirjutatakse ühes Kreeka epigrammis Diophantose kohta, et „tema poisipõlv kestis 1/6 tema elust; tema habe hakkas kasvama, kui möödunud oli veel 1/12; ta abiellus, kui mööda sai veel 1/7 ning tema poeg sündis viis aastat pärast seda. Poja elu oli isa omast poole lühem ja isa suri neli aastat pärast oma poega.“ Kui vanalt suri Diophantos?36 Algebrahuvilised leiavad vastuse selle peatüki lõpust.
Diophantos arendas sümboolse algebra – numbrite asemel sümbolite kasutamise – ideed kaugele, kuid ta ei jõudnud sellega päris lõpuni. Ta kommenteerib, et „absurdset võrrandit 4 = 4x + 20 ei ole võimalik lahendada.“37 Ei ole võimalik? Absurdne? Selles võrrandis peab x olema negatiivne arv: –4. Ilma nulli mõisteta, mis Diophantosel puudu jäi, on negatiivne arv loogiliselt võimatu.
Tundub, et Diophantose märkimisväärseid uuendusi on eiratud. Enne kui keegi tema tööd tähele pani, möödus peaaegu poolteist millenniumit. Viimaks ometi said tema saavutused oma väärilise palga: tema traktaat mängis 17. sajandil algebra õitsengus keskset rolli. Meile kõigile tänapäeval tuttavaid algebralisi võrrandeid, nagu näiteks a + bx = c, nimetatakse diofantilisteks võrranditeks.
India-Araabia süsteemi keskmeks oli nulli leiutamine, mida hindud nimetasid sundya ja mille kohta hakati araabia keeles kasutama sõna cifr.38 See mõiste on jõudnud inglise keelde kui sõna cipher (eesti k „null“), mis tähendab tühja ja viitab abakuse või arvelaua tühjale tulbale.39
Inimestel,
Vt Hogben (1968), lk 35; vt ka Eves (1983), I peatükk.
Vt Hogben (1968), lk 35 ja lk 246–250.
Taustamaterjal Diophantose kohta on pärit teosest Herbert Westren Turnbull, „The Great Mathematicians“ (1951), lk 113.
Turnbull (1951), lk 110.
Turnbull (1951), lk 111.
Vt ka Hogben (1968), lk 244–246.
Araabiakeelne mõiste on jõudnud isegi vene keelde, kus selle sõnakuju on