Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera
natural tiene un antecesor? ¿Por qué? Ejemplifique.
• ¿Se puede afirmar que todo número natural tiene un sucesor? ¿Por qué? Ejemplifique.
2. Números enteros
Para solucionar el problema que se presenta al restar números naturales donde el minuendo es igual o menor al sustraendo, se agrega el número cero y los números opuestos a los naturales.
De ese modo 3 – 3 = 0 (cero) y 3 – 7 = – 4 (opuesto de 4).
DEFINICIÓN: el conjunto de los Números Enteros está formado por la unión de los Naturales, el cero y los opuestos de los Números Naturales.
SIMBÓLICAMENTE: Z = {…–3, –2, –1,0,1,2,3,…}
En general si a es un entero, se dice que, – a es el opuesto de a.
Los números enteros permiten representar nuevos tipos de cantidades (como los saldos acreedores o deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las alturas sobre o bajo el nivel del mar o temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la planta baja, etcétera).
Nota: al conjunto
Operaciones en Z
La suma y el producto de números enteros es siempre otro número entero.
Ejemplos:
3 + 7 = 10
3 + (–7) = –4
(–3) + 7 = 4
(–3) + (–7) = –10
3.7 = 21
3. (–7) = –21
(–3). 7=–21
(–3). (–7) = 21
La diferencia a – b es considerada como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a – b = a + (–b), donde a es el minuendo y b es el sustraendo.
Ejemplos:
3 – 7 = 3 + (–7) = –4
3 – (–7) = 3 + 7 = 10
(–3) – 7 = (–3) + (–7) = –10
(–3) – (–7) = (–3) + 7 = 4 ≠ 3 + 7 = 10
La división entre números enteros nos arroja como resultados dos números enteros llamados cociente y resto.
Si denotamos con a al dividendo, con b al divisor, con q al cociente y con r al resto, se tendrá que al dividir a entre b, el cociente q indica las veces que b está contenido en a, pudiendo quedar un resto r, positivo o nulo. Esto se expresa con la siguiente igualdad: a = q. b + r, 0 ≤ r ≤ |b|.
La división a:b es la operación que representa la acción de repartir a elementos de un conjunto en b partes iguales, quedando en muchos casos un residuo no nulo. En todos los casos q y r son únicos.
Ejemplos:
1. Al repartir 32 caramelos entre 3 hermanitos, a cada uno les tocan 10 caramelos y sobrarán 2. Simbólicamente se tendrá: 32 = 3 · 10 + 2.
2. Si se quiere repartir una deuda de $ 45 en 8 personas, a cada una le corresponderá pagar $ 6 quedando un dinero a favor de $ 3. Esto se expresa formalmente diciendo que la división de –45 entre 8 arroja un cociente – 6 y resto 3 pues – 45 = 8 · (– 6) + 3.
Actividad 1.2:
Complete:
• La suma de dos números enteros da siempre un número ........................................
Anote dos ejemplos: ........................................
• La multiplicación de dos números enteros da siempre un número ........................................
Anote dos ejemplos: ........................................
3. Números racionales
¡Dividir es repartir en partes iguales!
Un grupo de 6 amigos juega a las cartas con un mazo de 52 cartas.
El juego consiste en repartir todas las cartas y dejar el resto en el centro de la mesa. ¿Cuántas cartas le corresponden a cada uno? ¿Cuántas cartas quedan en el centro?
¡Tú puedes deducir la respuesta!
DEFINICIÓN: son los que se pueden escribir como el cociente de dos enteros. Se pueden expresar como fracción.
EN SÍMBOLOS:
Los números racionales representan partes de un todo.
También, los números racionales, se caracterizan por su expresión decimal:
Las partes sombreadas de los siguientes objetos están representadas por números racionales.
Observe que:
Entonces «Todos los enteros son racionales». Es decir
Notación decimal
Todo número racional puede expresarse en notación decimal ya sea exacta o infinita periódica.
Cada número racional expresado en notación decimal está compuesto de dos partes:
Entre dos números racionales hay infinitos números racionales. Esta afirmación podría justificarse sencillamente si tenemos en cuenta que la suma de racionales es siempre otro racional, el promedio será otro racional y estará comprendido entre ellos.
Podríamos continuar indefinidamente el procedimiento de promediar dos números racionales, encontrando siempre que hay otro racional entre dos racionales, por más próximos que estén. Por ello decimos que Q es un conjunto denso.
Actividad 1.3:
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.
1.