Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera
Potenciación
Si a es un número real y n es un número natural, entonces decimos que an se obtiene multiplicando n veces el factor a, es decir:
Ejemplo:
a6 = a. a. a. a. a. a. a
Decimos entonces que an es una potencia que tiene a como base y n como exponente. Extendemos la definición para exponentes enteros definiendo, para a ≠ 0;
Actividad 1.4:
Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:
a. 28 = 22. 26 = 25. 23
( )
b. (8+3)2 = 82 + 32
( )
c. (8.3)2 = 82 + 32
( )
d. (23)2 = 35
( )
e. (23)2 = 26
( )
f. – 32 = (–3)6
( )
g. 54 = 45
( )
h.
( )
i. 5–2 = –10
( )
La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la potencia: Sean a, b números reales distintos de 0 y sean m, n números enteros.
| Propiedades de la Potencia | |
| Distributiva con respecto al producto | (a · b)m = am · bm |
| Distributiva con respecto a la división | |
| Producto de potencias de igual base | an am = an + m |
| División de potencias de igual base | |
| Potencia de potencia | (an)m = an.m |
Observación:
Como se apreció en el ejercicio anterior, la potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.
• ¿Qué sucede si a un número negativo lo elevamos a una potencia par? ¿Cuál es el signo del resultado?
• ¿Existe alguna potencia de 5 que dé como resultado un número negativo? ¿Por qué?
Radicación
Para los enteros positivos n, ya se ha definido la n-ésima potencia de b, a saber, bn. Ahora, vamos a utilizar la ecuación a = bn para definir la n–ésima raíz de a.
En general, la raíz cuadrada de a se define como sigue. A veces recibe el nombre de raíz cuadrada principal de a
Si a es un número real positivo,
Además,
Ejemplo:
Actividad 1.5:
Calcule el valor de cada una de las expresiones que siguen, en caso de estar definidas:
a.
b.
c.
En el caso de las raíces cúbicas se puede utilizar tanto números positivos como negativos, así como el cero. Por ejemplo:
23 = 8 y (–5)3 = –125
Se puede decir entonces que:
Si a y b son números reales cualesquiera,
Ejemplos:
Se puede ver que existe una diferencia básica entre las raíces cuadradas y las raíces cúbicas. Las raíces cuadradas están definidas solo para los números reales positivos y el cero. Las raíces cúbicas están definidas para cualquier número real.
Observaciones:
•
• El número a es el radicando,
Veamos ahora las propiedades de la radicación, las cuales son análogas a las de la potenciación.
Sean a, b números reales positivos y n, m números naturales:
| Propiedades de la Radicación | |
| Distributiva con respecto al producto | |
| Distributiva con respecto a la división | |
| Raíz de raíz | |
Actividad 1.6:
• Al igual que con la potenciación, la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta. Proponga ejemplos que muestren que la propiedad distributiva no se cumple.
• ¿Qué sucede al aplicar la propiedad distributiva al siguiente radical: