Didáctica de la matemática. Bruno D'Amore
dura, como salir del infierno; (…). A tal fin, en todas las épocas, la solución de los filósofos ha sido la de dar vida a construcciones en el aire.
Jonathan Swift,
Fábula del barril.
Mención a parte se merece la historia de la versión escolar, dicha a veces “ingenua”, de la teoría elemental de conjuntos que apareció en el mundo de la escuela en los años 60 empezando en los Estados Unidos, Francia y Bélgica, pero llegando a todos los continentes.
[A propósito de denominación, debe decirse explícitamente que “conjunto” es, en teoría de los conjuntos y por lo tanto en matemáticas, un término abstracto; pero cuando se usa didácticamente en los niveles escolares primarios, se le asimila a los nombres “reunión”, “colección” y otros semejantes, precisamente en el sentido concreto, de más... cosas, a veces verdaderos objetos materiales, reunidos en un todo único y pensadas colectivamente. Por lo que, aviso al lector lógico, que en lo que sigue de este párrafo, usaré el término “conjunto” en esta acepción no-matemática, tomada del lenguaje natural y del uso que de ella se hace desde hace décadas en una didáctica a veces ingenua y burda]23.
En realidad, me parece poder afirmar que la así llamada “teoría de conjuntos” era sólo la punta emergente de una más vasta visión estructuralista, de inspiración bourbakista, de la matemática, que tuvo varias denominaciones: Nueva Matemática, Matemática Moderna y otras más. Otras solicitudes de contenido y otras instancias de método casi no se notaron, pero el lenguaje de los conjuntos fue una novedad que se extendió como mancha de aceite, sobre la que se escribieron ríos de tinta, y que tuvo una fortuna primero lenta, pero después enorme, aún ahora no apagada del todo.
Para evitar equivocaciones, es necesario decir que el nacimiento de una teoría de los conjuntos consciente en matemática es cuestión más bien reciente, del siglo XIX24; y que está fuera de duda el hecho que, aún con todos sus límites25, el lenguaje de una ingenua teoría de los conjuntos, en matemática, es cómodo y, por ciertos aspectos, irrenunciable.
Pero aquí, no estoy hablando de la vertiente matemática, sino de la vertiente didáctica, que es otra cosa; aún más es otra cosa, dado que se habla de didáctica preuniversitaria...
Quizás (pero sólo quizás) toda esta aventura comienza con el muy famoso libro de J. Piaget y A. Szeminska, La genèse du nombre chez l’enfant (Piaget, Szeminska, 1941) publicado por primera vez en 1941 [y traducido 27 años después en Italia (Florencia, La Nuova Italia, 1968): lo que explica la difusión de estas ideas de amplio radio fue tan tardía en mi País]. Se debe decir también que fueron sobretodo psicólogos y pedagogos a ocuparse de este libro y, al menos inicialmente, de este tipo de cosas; por lo que, la difusión de estas ideas en didáctica y su distribución ramificada en el territorio, no fue obra de los matemáticos26. Sucesivamente, las ideas de Jean Piaget fueron recalcadas varias veces, por él mismo o por sus estudiantes; no puedo no recordar la obra colectiva de Gréco, Grize, Papert y Piaget (1960).
Se necesita además no olvidar la célebre conferencia que Jean Piaget impartió en Lyon en 1949 a maestros de escuela primaria y que contribuyó, en los años 50, a dar un impulso decisivo a la precedente didáctica de la aritmética (o, mejor, de la idea de número).
¿En qué consiste tal impulso? Piaget puso en evidencia algunas supuestas dificultades que el niño halla en su propia construcción del “concepto de número”, independientemente de lo que eso signifique. La primera se refiere al hecho que el niño no parece en grado de aferrar la equinumerosidad de una colección dada de objetos, en el momento en el que se dispongan perceptivamente en modos diferentes (hago referencia al célebre experimento sobre la así llamada “conservación del número”, cuando los objetos de un conjunto se desparraman sobre la mesa después de haber estado cerca entre sí). Otra consiste en el hecho que diferentes disposiciones de objetos de más conjuntos parecen hacer que el niño afirme que se trata de números diferentes de objetos, aunque no sea así.
Según Piaget, en la base de tales dificultades, se hallaría la incapacidad del niño de aferrar la “conexión uno-a-uno” entre objetos de diferentes conjuntos. He aquí entonces que la idea de correspondencia biunívoca entre conjuntos se elige como base, como piedra fundamental de toda la didáctica de los números, desde preescolar. Y eso comporta que haya existido una sobrevaloración del concepto cardinal de número con respecto al ordinal. Se vuelve institucional un gran retraso en la introducción del número en sus aspectos usuales, para poderlo construir por medio de complejos procedimientos “de abstracción”: concepto de equipotencia entre conjuntos finitos, clases de equivalencia, representante de cada clase27.
No entraré en ulteriores detalles técnicos, visto que ya existe sobre este argumento un trabajo muy profundo y detallado de Michele Pellerey (1989), al cual remito.
Quisiera sólo recordar brevemente lo que escribí ya en otros artículos (D’Amore, 1994a; Aglí, D’Amore, 1995). Rehice personalmente varias veces un experimento juzgado probatorio, en la dirección precedente. A niños entre los 5 y los 5 años y medio (último año de preescolar) mostré una fila de 5 platitos junto a otra fila de 5 tacitas. A la pregunta: “¿Hay más platitos o más tacitas?”, todos respondían correctamente (aunque, obviamente, con modalidades lingüísticas diferentes). Dejando en su lugar los platitos, redistribuía las tacitas sobre la mesa, dejando más espacio entre ellas. A la misma pregunta de antes, todos los niños efectivamente respondían, de acuerdo a las supuestas dificultades señaladas por Piaget, que ahora había más tacitas. Pero no concluía aquí mi prueba: volvía a colocar en su lugar las tacitas, acercándolas a los platitos, como estaban antes, y rehacía la misma pregunta. De nuevo todos los niños daban la respuesta correcta. Cuando de nuevo (por lo tanto: por segunda vez) separaba entre ellas las tacitas y rehacía la misma pregunta, ya la mitad de los niños presentes reconocía con absoluta, sorprendente, desconcertante seguridad que había tantas tacitas como platitos y buscaban convencer a los demás, anclados en la misma respuesta precedente “¿Hay más tacitas?”, con argumentos convincentes28.
La grande fortuna de este lenguaje de conjuntos se halla ligada también a los diferentes materiales predispuestos que la acompañaron, los así llamados “materiales estructurados”, que dieron la vuelta al mundo (alguien lo ha ya recordado precedentemente). Pero también a las teorizaciones de Zoltan Dienes y de Jerome Bruner. Si del primero ya he mencionado algo, el segundo fue sólo citado en una nota. Bruner, en su Teoría de la instrucción (1966), sostiene que se debe desarrollar en los estudiantes la estructura misma del conocimiento; en particular, en matemáticas no se debe dirigir hacia habilidades mecánicas o algorítmicas, ni limitarse a dar simples informaciones; se debe estructurar la mente exactamente como se halla estructurada la matemática misma, para poder después “componer” cada pieza, en el interior de esta estructura ya predispuesta.
Pero desde 1970 comenzaron a circular fuertes señales de rechazo de todas estas hipótesis didácticas.
En 1970 se publicó en francés el muy célebre artículo del matemático René Thom (1970), Matemáticas Modernas: ¿un error educativo y filosófico? Debe recordarse que en 1958 Thom había ya ganado la Medalla Fields, el equivalente del Premio Nobel para la matemática; por lo que su ingreso en campo tuvo un peso para nada despreciable. Tal artículo contenía, en muy pocas páginas, un conciso análisis sumamente crítico que despertó repentinamente el interés de los matemáticos en los problemas de la educación matemática. Sucesivamente, en 1972 el mismo Thom confirmó su pensamiento en el II Congreso Internacional sobre Educación Matemática que se tuvo en Exeter, Inglaterra (Thom, 1973).
Otro golpe decisivo llegó por parte de otro célebre personaje, el famoso histórico de la matemática estadounidense Morris Kline [1908-1992] (1973). El trabajo, con título: ¿Por qué Juanito no sabe sumar?, tenía como subtítulo un explícito: El fracaso de las Nuevas Matemáticas29.
Después del ataque de los matemáticos, llegó el ataque de los psicólogos que no hallaban para nada convincente la teoría piagetiana del número. Comenzó quizás, como ya he recordado, C. J. Brainerd (1973) y después fue S. Mogdil (1974) los