Didáctica de la matemática. Bruno D'Amore
(verdadera) con base en la cual, en una escuela primaria alemana, un niño de 8 años, que después se convirtió en un personaje tan famoso e importante digno de merecer el título de “príncipe de los matemáticos”, Carl Friedrich Gauss [1777-1855], resolvió de manera brillante e inesperada el problema aritmético de calcular la suma siguiente, formada por cien sumandos: 1+2+3+...+98+99+100. Al reto lanzado al grupo de hallar una forma rápida de realizar la operación, tuve muchas respuestas (entre las cuales la ingeniosa pero para nada rápida: ¡“Usamos la calculadora”!). Cuando revelé el método de Gauss niño (es decir: reconocer que para calcular la suma antes dicha se puede multiplicar 101 por 50, dado que 1+100 da 101, como 2+99, como 3+98, etcétera), todos los estudiantes se pusieron a inventar soluciones personales (algunas de las cuales más bien fantásticas e inútiles, otras ingeniosas), para emular a su famoso coetáneo de hace dos siglos. La anécdota indujo interés por el argumento y por lo tanto una motivación a la tarea que se trasformó inmediatamente en volición. Y ha desmontado la idea según la cual sólo adultos ingeniosos y muy inteligentes pueden trabajar con las ideas matemáticas. El mundo de la matemática, lejano y mítico, se acercó de repente a las experiencias vivas y reales de los niños.
Ahora, es indudable que la anecdótica no se puede interpretar como investigación histórica académicamente seria, pero es también verdad que, desde mi punto de vista, en una visión didáctica A es deseable poner en movimiento todos los mecanismos de... seducción posibles, con tal de obtener el objetivo (Furinghetti, 1993).
1.6. Otros ejemplos de didáctica A
Que el joven no tenga una fe ciega: que nada esté bien para él excepto aquello que siente que está bien. Incitándolo siempre hacia cosas que sobrepasan su comprensión se ilusionan de ser precavidos pero no lo son. Con tal de proporcionarle algún instrumento superfluo, que quizás no usará jamás, le quitan lo que es más universal para el hombre: el buen sentido;
lo acostumbran a dejarse guiar siempre,
a ser un autómata en las manos de otros.
Jean-Jacques Rousseau,
Emilio o de la educación.
Por lo tanto, forman parte de la didáctica de tipo A todos los estudios y las ideaciones de instrumentos (concretos o no) que pueden mejorar la enseñanza de la matemática, en el sentido que precisé líneas arriba.
Hemos visto el trabajo de Dienes, de Castelnuovo y los ambientes inspirados en las ideas de Montessori. Veamos otros ejemplos.
En la escuela primaria, recuerdo los así llamados “números en color”, pensados por Galeb Gattegno [1911-1988]. A los niños se les proporcionan unas reglas de madera coloreadas que sirven para hacer representaciones concretas de los valores numéricos; se ejercitan así dos estímulos visuales en la aproximación al número natural: altura, en cuanto que las reglas tienen base cuadrada constante pero altura diferente proporcional al número que representan; y color, en cuanto que cada regla se pinta en modo diferente dependiendo del número que representa. Existe también un intercambio entre número en sentido cardinal y número como expresión de una medida. En efecto, la regla más pequeña, la unitaria (se trata de un cubito), se considera como la unidad de medida es decir se asimila al número 1. Por lo que la regla-tres, por ejemplo, es alta tres veces la unidad de medida: para rehacer la regla-tres, a partir del color, se necesita sobreponer tres cubos-unidad (se pierde algo en la aproximación ordinal, pero quizás se le recupera con oportunas actividades de conteo). Este material, que tuvo una notable fortuna mundial en los años 70, se halla aún presente en las escuelas primarias, aunque ahora su papel didáctico me parece cada vez menos enfatizado.
Bastante difundidas, especialmente en los años 70 y 80, fueron salones equipados de manera particular llamados “laboratorios de matemática”. Se trata de verdaderos laboratorios didácticos en los que los estudiantes construyen (en el verdadero sentido concreto de la palabra) objetos relacionados con la matemática: máquinas eléctricas para hacer cálculos, instrumentos para estudiar las transformaciones geométricas, máquinas lógicas para estudiar los conectivos... (Caldelli, D’Amore, 1986). Hubo años muy intensos de trabajo alrededor de esta idea que tiene indudables frutos muy positivos en el plano didáctico – cognitivo, dado que se instauran mecanismos relacionales (maestro - estudiante) muy particulares y relaciones cognitivas (estudiante - matemática) de extremo interés teórico (D’Amore, 1988, 1990-91).
Es obvio que esta actividad en laboratorio se configura al interior de la así llamada’“pedagogía activa”: el muchacho construye, y en nuestro caso no sólo metafóricamente, sino concretamente, con las propias manos, objetos que demandan conocimiento. Los conceptos son el resultado de la elaboración de proyectos que deben ser examinados meticulosamente por la experiencia. El producto debe pensarse a priori porque tiene un objetivo declarado y esperado, pero después debe verificarse su eficacia.
Hubo años de gran interés social por estas iniciativas, entre finales de los años 70 y mitad de los años 80. Yo mismo coordiné el nacimiento de algunas decenas de laboratorios en Bolonia (escuelas primarias comunales, en ese entonces existentes), Osteria Grande18(escuela estatal, con descarga oficial de un maestro, precisamente con el objetivo de seguir las actividades de laboratorio), Imola (lo mismo), Lugo de Romagna y localidades limítrofes (donde realizamos varios centros), y así sucesivamente19. Dado que el instrumento matemático no era, como habitualmente, del todo realizado por un adulto y llevado a la clase ya confeccionado y listo para el uso, sino sólo propuesto por el maestro por medio de la necesidad de volver concreta una idea, pero después proyectado, realizado y verificado por el estudiante, se podría incluso pensar que esta actividad constituye un “puente” entre la tipología A y la B de la didáctica (que conoceremos en detalle dentro de poco).
Otro instrumento que tuvo resonancia mundial fue la así llamada “minicomputadora” ideada por Georges Papy. En realidad, más allá del nombre, el instrumento nada tiene que ver con la (de ese entonces) nueva emergente realidad tecnológica, dado que consiste simplemente en un cuadrado de papel subdividido en otros 4 cuadrados (mediante las dos medianas). La minicomputadora de Papy se presta a juegos de transformación de la base numérica dos a la de base diez (y viceversa), utiliza exponentes de base dos y permite cálculos de un cierto interés, motivando, mediante una idea lúdica simple y genial, al estudiante a la tarea. Es más, el estudiante tiene siempre la impresión de crear por sí mismo algo nuevo, dado que descubre continuamente curiosos y fascinantes vínculos entre números escritos en las dos diferentes bases. Siempre a Papy y a sus seguidores se les atribuye un uso masivo del “lenguaje de las flechas”, una especie de ambiente lingüístico pre-formal, considerado por quien lo usa “neutro” y “espontáneo”, incluso pre-cognitivo porque su uso no requeriría de capacidades específicas.
¿Cómo no recordar el célebre geoplano, un cuadrado de madera idealmente cuadriculado, con clavos en los vértices de tal cuadrícula? También este simple y genial instrumento dio la vuelta al mundo y se difundió rápidamente, y se halla presente aún hoy en muchas realidades escolares, especialmente en la escuela obligatoria. Se presta a actividades bastante elementales, por ejemplo como base de figuras geométricas vueltas visibles con ligas de colores estiradas alrededor de los clavos-vértices. Pero también para ilustrar en modo muy sencillo resultados matemáticos más avanzados, como el teorema de Pick20, adecuado para realizar investigaciones incluso bastante serias de carácter inductivo y deductivo. Más en general, el plano cuadriculado se presta a varias actividades matemáticas: el estudio de la así llamada geometría del taxi, de la probabilidad, del triángulo de Tartaglia-Pascal etc. (Caldelli, D’Amore, 1986).
La lista podría continuar, dado que en tantos años de experiencias en la tipología A, la didáctica de la matemática ha parido muchas ideas concretas, algunas de las cuales son en verdad geniales.
Para concluir, quiero sólo recordar el ábaco multibase, un instrumento bastante difundido en la escuela primaria y secundaria en los años 70, pero ahora desaparecido, adecuado para hacer cálculos pasando de una base numérica a otra. La idea inspiradora era la siguiente: dado que usamos siempre la base diez, el estudiante