Краткий курс по статистике. Коллектив авторов
арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена; рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности:
Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается, если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности каждым значением осредняемого признака:
Выделяют следующие основные свойства средней арифметической величины:
☞ сумма всех отклонений каждого значения признака от среднего арифметического значения равна нулю:
Если отклонения каждого из вариантов от средней величины суммировать, то получится ноль, что свойственно арифметическим невзвешенным и взвешенным средним значениям;
☞ произведение каждого значения признака на соответствующую ему частоту равно произведению средней величины на сумму частот:
Средняя величина есть результат распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами;
☞ сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонения от любой другой величины:
если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится на это же число;
☞ если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;
☞ от увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;
☞ вследствие предыдущего свойства величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т. е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;
☞ средняя арифметическая совокупности, состоящей из постоянных величин, равна этой постоянной:
4. Приведем также формулы расчета средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической и средней степенной величин.
Формула расчета степенной средней:
где xi – величины, для которых исчисляется средняя;
– средняя, где имеет место осреднение индивидуальных значений;
n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
При к = формула превращается в формулу расчета средней гармонической.
Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная