Mechanik. Michael Schulz

Mechanik - Michael Schulz


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können also entlang einer beliebigen, mindestens zweimal differenzierbaren Bahnkurve in jedem Punkt die beiden zueinander orthogonalen Vektoren t und n bestimmen. Dieses Paar kann um einen dritten, auf t und n senkrecht stehenden Vektor ergänzt werden. Dieser Vektor wird als Binormale b bezeichnet. Die Orientierung des Binormalenvektors wird so gewählt, dass die Vektoren t, n und b ein Rechtssystem bilden. Dieses Orthogonalsystem ist in jedem Punkt der Bahnkurve erklärt, aber seine räumliche Orientierung kann ständig variieren. Deshalb spricht man auch von einem begleitenden Dreibein (vgl. Abb. 2.7).

      (2.65)image

      Die Geschwindigkeit hat also in dem begleitenden Dreibein die Komponenten

      (2.66)image

      wobei wir die übliche Vereinbarung υ = |υ| genutzt haben. Auch in Zukunft wollen wir den Betrag eines beliebigen Vektors u durch u kennzeichnen.

      Die zweite Ableitung der Trajektorie nach der Zeit gibt

      (2.67)image

      (2.68)image

      (2.69)image

      (2.70)image

      Die Tangential- oder Bahnbeschleunigung at = images hängt nur von der Änderung des Betrages der Geschwindigkeit ab. Die Form der Bahn ist für diese Komponente ohne Einfluss.

      Dagegen wird die Normal- oder Zentripetalbeschleunigung an = υ2R−1 durch den Betrag der Geschwindigkeit und den Krümmungsradius der Bahn bestimmt. Wenn wir beispielsweise die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn mit einem konstanten Betrag der Geschwindigkeit betrachten, so sind die Tangentialbeschleunigung at = 0 und die Zentripetalbeschleunigung an = υ2R−1.

      2.2.5 Allgemeine krummlinige Koordinaten

      In kartesischen Koordinaten wird der Ortsvektor geschrieben als

      (2.71)image

      Die zugehörige infinitesimale Verrückung ist durch das Differential

      gegeben. Hieraus lässt sich die entsprechende infinitesimale Bogenlänge bestimmen. Wegen der Orthogonalität der Basisvektoren ex, ey und ez folgt sofort

      (2.73)image

      wobei im letzten Ausdruck die Einstein’sche Summationskonvention verwendet wurde. Diese Regel besagt, dass über doppelt vorkommende Indizes summiert wird. Die eα sind nicht unbedingt Einheitsvektoren, sondern enthalten alles bis auf das Differential und stellen i. Allg. nicht normierte Basisvektoren dar.

      Hieraus ergibt sich die Darstellung der Geschwindigkeit in krummlinigen Koordinaten:

      Die Basisvektoren sind bei einem beliebigen Koordinatensystem gewöhnlich Funktionen der Koordinaten {xα}. Für das Basissystem {e1, e2, e3} ist allerdings die Orthogonalität keine notwendige Forderung mehr. Deshalb ist das Quadrat des Linienelementes jetzt eine allgemeine quadratische Form der Koordinatendifferentiale

      (2.76)image

      des metrischen Tensors g ein, dann gelangt man zur metrischen Fundamentalform

      Die Komponenten gαβ des metrischen Tensors können zu einer quadratischen Matrix

      (2.79)image

      zusammengefasst werden. Der metrische Tensor ist symmetrisch,

      (2.80)image

      und in euklidischen Räumen stets positiv definit. Wir werden uns in Kap. 9 noch einmal ausgiebig mit dieser differentialgeometrischen Präsentation von Linienelementen befassen.

      Für die oben angegebenen Beispiele orthogonaler Koordinaten erhalten wir problemlos die entsprechenden metrischen Tensoren. Insbesondere folgt für kartesische Koordinaten (x, y, z)

      (2.81)image

      für Zylinderkoordinaten (r, φ, z)

      (2.82)image

      und für Kugelkoordinaten (r, θ, φ)

      (2.83)Скачать книгу