Conceptos avanzados del diseño estructural con madera. Pablo Guindos
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| TABLA 1.2.6 Aplicación de los coeficientes de moficidación ki para el cálculo de tensiones admisibles y rigideces efectivas del CLT según el método k (después de Gagnon y Popovski 2011). | |||
| Solicitación | Orientación fibra externa respect solicitación | Resistencia efectiva | Rigidez efectiva |
| Fuerzas fuera del plano | |||
| Flexión | Paralela | ||
| Perpendicular | |||
| Fuerzas en el plano | |||
| Flexión | Paralela | ||
| Perpendicular | |||
| Tracción | Paralela | ||
| Perpendicular | |||
| Compresión | Paralela | ||
| Perpendicular |
1.3 MODELO DE CÁLCULO TIPO PLACA; TEORÍA DE PLACAS CON CONTRIBUCIÓN DE CORTE DE PRIMER ORDEN
A pesar de que varios de los modelos de vigas anteriores pueden extenderse con mayor o menor dificultad para constituir elementos tipo placa (2D) y poder modelar así flexiones biaxiales, así como otras situaciones de carga y condiciones de vínculo más complejas, sin duda la forma más extendida para modelar este tipo de elementos, especialmente cuando las condiciones de carga, vínculo y geometrías son complejas, consiste en emplear directamente un modelo de placa, referido habitualmente como plate (sin esfuerzos de membrana) shell, (con esfuerzos de flexión y membrana) en contextos de modelos computacionales. Estos modelos no sólo se aplican para predecir la flexión fuera del plano, sino que en general se usan para explicar prácticamente todo el comportamiento mecánico del CLT.
Pese a que existen soluciones analíticas, especialmente para situaciones de carga y vínculo relativamente sencillas, claramente la resolución de problemas con elementos 2D suele realizarse mediante métodos numéricos de aproximación. En particular, es muy común emplear el modelo de los elementos finitos (MEF) para aproximar soluciones, y es por ello, que en la práctica profesional el uso del término plate o shell suele relacionarse con el MEF. La precisión de estos modelos es sin duda muy superior a los modelos analíticos (o eventualmente computacionales como, por ejemplo, la analogía de corte) anteriormente descritos. De hecho, a menudo el “error” de los modelos de flexión uniaxial presentados anteriormente, se determina en función de cuan bien pueden estos emular los resultados del modelo que a continuación se describe.
Sin duda la teoría de placas es extensísima entre otras cosas porque permite predecir la rigidez, deformación y tensiones internas de elementos tipo placa compuestos por capas laminadas reduciéndolos de 3D a 2D. Cada una de las láminas puede ser isótropa, transversalmente isótropa u ortótropa. Esto es particularmente importante para la industria aeroespacial, que convencionalmente fabrica las cáscaras o “shells” de naves con placas compuestas laminadas. Por supuesto el análisis de la teoría de shells no es el objeto de este libro, por lo que a continuación se describe únicamente lo esencial en relación a la modelación del CLT.
Principalmente existen 2 teorías para simplificar el comportamiento global de placas compuestas laminadas, tales como el CLT a elementos 2D, y afortunadamente, muchos de los softwares comerciales mayormente empleados permiten implementar ambos modelos:
1 Teoría clásica de placas laminadas o teoría de laminados basada en la teoría de placas de Kirchhoff (teoría clásica de laminación). Usualmente empleada para predecir el comportamiento de placas delgadas, asume que el plano intermedio en el plano de la placa es el plano neutro (similar a fibra neutra en la teoría de vigas), por lo que no existen ni deformaciones ni tensiones. Tampoco considera que pueda existir tensión y deformación en la dirección del grueso de la placa. Finalmente asume que las secciones de la placa son planas y perpendiculares al plano intermedio, es decir, que no existe deformación por corte.
2 Teoría de placas laminadas con contribución de corte o teoría de laminados basada en la teoría de placas de Mindlin (teoría de cortante de primer orden). Es similar a la teoría clásica de Kirchhoff, pero sí considera la deformación por corte lo que la hace mucho más conveniente para predecir el comportamiento de placas gruesas tales como el CLT en su morfología más habitual.
Por lo anterior, a continuación, se resumen las particularidades del modelo de laminado basado en la teoría de placas de Mindlin para aplicación en el CLT y, se explican los modelos actuales de cálculo empleados para determinar las diferentes rigideces.
1.3.1 Suposiciones fundamentales de la teoría de placas de Mindlin
Al igual que en la teoría de Kirchhoff, el plano intermedio se asume como el plano neutro, y también se considera que no existe deformación en el grueso de la placa εz=0, es decir se asume la hipótesis de tensión plana. Esto se adapta bastante bien a la realidad, si es que la geometría no se acerca a la de un sólido (l/t<10).
Además, tal y como fue introducido con anterioridad, la sección perpendicular de la placa permanece plana y de espesor constante, pero no necesariamente perpendicular a la deformada. Dicho de otro modo, se permite que haya deformación por corte transversal, tal que las normales a la placa no resultan perpendiculares al plano intermedio, ver Figura 1.3.1. Así pues, la deformación de corte se asume constante en toda la placa, lo que obliga a emplear factores de corrección de deformación por corte transversal, k. Además de ello, tal como se detalla en apartado sucesivos, también se suele requerir la aplicación de factores de corrección por torsión y corte longitudinal, k.
FIGURA 1.3.1 Deformación básica y desplazamientos en la teoría de placas de Mindlin: (izquierda) el giro de la sección plana se asume como la suma del giro debido a la deformada más la contribución del corte, lo que contrasta frente a la sección no plana real; (derecha) los desplazamientos horizontales se asumen como la sumatoria del desplazamiento de la deformada en el plano intermedio más la contribución por giro (basado en Oñate 2013).
1.3.2 Formulación de desplazamientos en la teoría de Mindlin
El desplazamiento horizontal de cualquier punto de la placa se asume como una composición del desplazamiento de la lámina intermedia (u0 y v0, medidos en z=0), menos el desplazamiento horizontal correspondiente al giro (sobre ejes x e y) multiplicado por el ángulo de giro (θ). Nótese que, como se asumen pequeños desplazamientos, y las secciones permanecen rectas, el desplazamiento horizontal debido al giro puede calcularse como el producto de la coordenada z (radio) multiplicado por el ángulo de giro θ, ver Figura 6.1.4.5.1.
A su vez, tal como se muestra en la Figura 6.1.4.5.1,