Conceptos avanzados del diseño estructural con madera. Pablo Guindos
en estado deformado, más la rotación debido al corte:
Finalmente, se asume que la sección no se deforma en su espesor, por lo que el desplazamiento vertical de cualquier punto de la sección transversal se asume idéntico al desplazamiento del plano intermedio
1.3.3 Deformaciones
Dado que la matriz de rigidez del elemento de CLT con capas simétricas es casi diagonal, puede establecerse una relación bastante directa entre los esfuerzos y las deformaciones, así como los dos acoplamientos anteriormente mencionados:
Los momentos mx, my y mxy son, respectivamente, los principales causantes de las curvaturas (giros por unidad de longitud) de kx, ky y kxy.
Los cortantes transversales vx e vy provocan distorsiones verticales en cada uno de los planos ortogonales de la placa, γxz, γyz.
Los axiles y el cortante en la placa nx, ny y nxy son, respectivamente, los principales causantes de las tensiones y distorsión angular en la membrana εx, εy, γxy.
El vector traspuesto de deformación global de la placa puede escribirse como
O lo que es lo mismo
De modo que, análogamente a la formulación de desplazamientos, la deformación individual en cada coordenada vertical z de cada lámina suele calcularse a partir de las deformaciones globales de la placa como
Nótese que en esta última ecuación no se considera explícitamente la contribución de la deformación por corte transversal en la lámina. Esto se debe a que, si bien dicha contribución si se toma en cuenta en la deformación de la placa para las verificaciones de servicio, no se suele incorporar en la deformación de las láminas individuales porque las tensiones cortantes perpendiculares suelen considerarse independientemente, es decir, no se calculan a partir de las deformaciones de las láminas individuales, ver Sección 1.3.11.
1.3.4 Esfuerzos y tensiones en la placa
Los esfuerzos internos, i.e. axiles, cortantes y momentos, a los que la placa está sometida se asumen esfuerzos por metro de ancho (kN/m y kNm/m, respectivamente) por lo que la denominación suele ser con letras minúsculas. La dirección del largo, x, se toma como la dirección de la fibra en el exterior de la placa, y el ancho, y, es la dirección perpendicular al largo en el plano de la placa. La convención de signos y direcciones de los esfuerzos internos es similar a la que se emplea en el hormigón, ver Figura 6.1.5.3; el primer subíndice hace referencia al eje normal al plano en el que actúa el esfuerzo, el segundo subíndice hace referencia a la dirección donde se producen las tensiones. En caso de que los dos subíndices se repitan, se elimina uno de los subíndices. Por ejemplo, el axil por metro de ancho nx representa un esfuerzo que actúa en el plano cuya normal es el eje x y produce tensiones de dirección x. El esfuerzo nxy es el esfuerzo que actúa en el plano cuya normal es el eje x, pero produce tensiones de dirección y. En total, la placa puede estar sometida a los siguientes esfuerzos:
1 Fuerzas axiales por unidad de longitud en las 2 direcciones horizontales, nx y ny, que generan tensiones axiales σx, σy en la membrana, esto es en el plano de la placa, ver Figura 1.3.4.
2 Momentos flectores por unidad de longitud respecto de ambos ejes, mx y my, que generan tensiones σx, σy en la membrana.
3 Momento torsor (twisting) por unidad de longitud. El momento actúa en el plano cuya normal es x y produce tensiones cortantes en el eje y por lo que la designación es mxy y τxy. Por supuesto se genera un momento idéntico en el plano con normal y que produce esfuerzos tangenciales en x.
4 Cortante por unidad de longitud en el plano de la placa, nxy, que generan tensiones cortantes en el plano de la placa τxy.
5 Cortantes por unidad de longitud perpendiculares al plano de la placa, en los planos xz e yz, vx y vy, que generan tensiones cortantes en ambos planos perpendiculares a la placa τxz, τyz.
FIGURA 1.3.4 Esfuerzos y tensiones en la placa.
1.3.5 Matriz de rigidez del elemento
La matriz de rigidez de la placa puede definirse como
Y en el caso de que las láminas estén orientadas en múltiplos de 90° como en el CLT, la matriz de rigidez se simplifica a
Donde los términos en color verde engloban la rigidez a la flexión y torsión, los términos azules engloban el cortante transversal, los términos rojos la rigidez de la membrana y los términos naranjas son comúnmente referidos como excentricidades que acoplan las respuestas de membrana con las flexionales y torsionales. Dicho efecto de acoplamiento es muy poco aconsejable, porque provoca que los momentos provoquen no solo curvatura sino también deformaciones y distorsiones en la membrana. Asimismo, los esfuerzos puros de membrana también provocan curvaturas y torsiones. Por ello, no solo en el CLT, sino en la mayoría de compuestos laminados trata de evitarse la asimetría y el desbalanceado de los laminados; es muy recomendable que la configuración de láminas (geometría y rigideces) sea simétrica, y además cada lámina en la parte superior del plano de simetría tenga su contraparte (ángulo de orientación de fibras) en la parte inferior. No obstante, es importante notar que es posible evitar las excentricidades empleando ciertas configuraciones asimétricas también.
Observamos entonces que los únicos términos de acoplamiento remanentes resultan D12 y D67, los cuales acoplan las curvaturas y deformaciones de membrana, respectivamente, en los ejes x e y. En muchas ocasiones, se desprecian las interacciones de momentos flectores y axiles de modo que la matriz puede venir definida como
Las componentes de rigidez, lógicamente hacen referencia a las rigideces flexionales, torsionales, cortantes y axiales de la placa por lo que habitualmente
Nota: las componentes de rigidez indicadas en realidad deben partirse por unidad de ancho (ver definiciones en apartados sucesivos), pero en este libro se indican así para mejorar la comprensión.
Tal y como se introdujo con anterioridad, en la práctica es habitual emplear factores de modificación por corte transversal k, ya que en realidad las secciones no son planas, sino que experimentan deformaciones por corte tal como se ilustró en la Figura 1.3.1. También, tal como se detalla posteriormente, la rigidez torsional disminuye por el hecho de que los tablones no estén encolados en los bordes o bien puedan presentar grietas, por lo que se suele aplicar un factor de minoración kT. Finalmente, la rigidez de corte longitudinal en el plano también se reduce por la discontinuidad de los tablones en la lámina y el mecanismo de transmisión del esfuerzo de corte kV, así es que la matriz de rigidez incluyendo los factores de modificación resultaría
1.3.6 Rigidez de la membrana
Las componentes de rigidez axial y cortante longitudinal de la membrana suelen calcularse