Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы. Владимир Костин
Предположим портфель содержит два актива А и В. Актив А был приобретён за 10 долл. и продан за 20 долл., а актив В – приобретён за 100 долл. и продан за 120 долл. (капитальные доходности активов соответственно равны и , относительные объёмы инвестирования – и . Согласно приведенным выше формулам получаем средневзвешенную и среднеарифметическую капитальную доходность
Результаты расчётов отличаются весьма существенно, что свидетельствует о недопустимости определения средней доходности (МО) портфеля активов без учёта их долей в стоимости портфеля.
Среднее квадратическое ожидание доходности портфеля активов. Если дисперсия дохода (стоимости) актива i–го вида равна , то дисперсия дохода портфеля, который содержит активов одного вида, составляет .
Дисперсия дохода портфеля, который содержит N видов активов, равна [1, 2]
где – коэффициент корреляции доходов (стоимости) активов i–го и j–го видов.
Формулу для расчёта дисперсии доходности портфеля можно преобразовать к виду
где и – средние квадратические отклонения доходности активов i–го и j–го видов соответственно.
Поскольку , а также при соответствующие коэффициенты корреляции равны единице () и, кроме того, и , получаем соотношение для СКО доходности портфеля активов [2]
Неравенство под суммой означает, что суммирование распространяется на все возможные сочетания и при условии выполнения указанного неравенства. Количество сочетаний и во втором слагаемом выражения (1.9) составляет .
Теоретически коэффициент корреляции доходов активов может принимать значения в пределах от –1,0 до +1,0. Однако на практике не существует активов, которые имели бы отрицательную корреляцию с каким–либо другим активом [1, 5]. По этой причине в дальнейшем будем полагать .
Коэффициенты корреляции доходов (стоимости) активов i–го и j–го видов рассчитываются с использованием исторических данных по формуле [2]
где – количество торговых дней в выборке исторической стоимости активов; и – стоимости активов i–го и j–го видов соответственно в –ый торговый день; и – математические ожидания стоимостей активов i–го и j–го видов соответственно.
Таким образом, с целью оптимизации структуры портфеля активов полученная совокупность соотношений позволяет оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля активов. Матричная запись значений и позволяет использовать методы линейного программирования для оптимизации структуры портфеля активов [1, 3].
1.5. Достижимые множества портфелей
В портфельной теории решение задачи оптимизации структуры портфеля активов связано с понятием «достижимое множество портфелей», которое можно сформировать из ограниченного количества исходных активов [1]. В данном случае под активом понимается совокупность ценных бумаг одного эмитента, приобретённых по одинаковой цене, и, как следствие,