Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán

Trigonometría y geometría analítica

25^◦ respecto a la ribera del río y al cabo de 5 minutos observa que la trayectoria del tren subtiende un ángulo de 50^◦. ¿Cuál es la rapidez del tren en kilómetros por hora?

Solución:

Considerando la figura 1.9, vemos que el triángulo EOT es isósceles de vértice O, por lo tanto, se tiene que :

Por lo tanto, concluimos que:

y con ello:

es decir:

o sea:

Fig. 1.9

luego ET = 3100 m., es decir ET = 3, 1 kilómetros y como la rapidez v es el cuociente entre ET y t = 5 minutos , o sea t = 5/60 = 1/12 horas, resulta:

Problema 1.6.36 A, B y C representan las puntas de postes colocados a intervalos iguales al lado de una carretera, x e y son las tangentes de los ángulos que subtienden AB y BC desde un punto P y t es la tangente del ángulo que forma lacarretera con PB. Demostrar que:

Solución:

Tal como se indica en la figura 1.10, sean:

Fig. 1.10

Además, colocamos AB = BC = a, DB = u y DP = v, también es claro que ≮ DBP = γ, con ello se deduce que:

por otro lado, en el triángulo rectángulo CPD se tiene:

Observando ahora el triángulo rectángulo ADP, conseguimos:

De (1) y (2) se llega a:

que es el resultado esperado.

Problema 1.6.37 Un avión vuela con rapidez de 247,62 [km/h] en aire con calma y con rumbo N 59^◦ O, comienza a soplar viento con rapidez de 43 [km/h] en dirección S 21^◦ O, el avión pasa a desplazarse en el rumbo N 69^◦ O. Determinar la nueva rapidez del avión.

Solución:

Considerando la figura 1.11, donde images es el vector velocidad del viento images es el vector velocidad del avión con viento en calma, luego ≮ SBC = α = 21^◦ y ≮ C′BA = β = 59^◦.

Tenemos, entonces que el nuevo rumbo del avión lo da el vector resultante:

con ello:

Se deduce entonces que

Fig. 1.11

luego, el triángulo DAC′ es rectángulo en A, con lo que:

por lo tanto, la nueva rapidez del avión es:

Problema 1.6.38 Desde la cima de una colina una persona halla que los ángulos de depresión de tres piedras consecutivas e indicadoras de los kilómetros de un camino recto a nivel son α, β y γ. Demostrar que la altura h de la colina es:

Solución:

Observando la figura 1.12 resulta:

y, por geometría sabemos que la transversal de gravedad OM del triángulo AOB está dada por:

Fig. 1.12

así, de lo anterior, se consigue:

de donde:

con lo que:

Problema 1.6.39 La elevación de un campanario desde un lugar A al sur de él es de 45^◦ y desde un lugar B al oeste de A la elevación es de 15^◦. Si AB = 2a, demostrar que la altura del campanario es images .

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