Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán
obtiene:
36.Demostrar que al eliminar α y β entre las ecuaciones:
se obtiene:
37.Demostrar que:
siendo
2.11Respuestas capítulo 2
(2)
(5)
(6)
(7)
(8)
(11)130,2 m. ó 43 m.
Capítulo 3
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
El concepto de relación inversa de una función circular y, con posterioridad, el de función inversa de una función circular, es importante, ya que al considerar la función y = cos x podemos referirnos a y, el coseno de x, pero también es posible que el énfasis esté puesto en el número x, o sea, a aquel x cuyo coseno es y. Esto se presenta muy a menudo, razón por la que para señalar que x es un número cuyo coseno es y, esto es, la relación inversa de y = cos x se utiliza la notación especial:
Este simbolismo fue introducido, según se dice, por los matemáticos Daniel Bernouilli y Leonhard Euler en el año 1730.
Nota:
x = arccosy es el conjunto de aquellos x tales que y = cos x. Por lo tanto, un x determinado está en dicho conjunto; esto es lo que entendemos por la igualdad x = arccosy, no es una igualdad en el sentido lógico de igualdad.
En otras palabras tenemos la equivalencia siguiente:
En particular, si colocamos
Esta consideración anterior nos hace ver que si bien y = cos x es una función, la expresión x = arccosy define sólo a una relación; más precisamente, una relación en que a un apropiado valor de y, le corresponden infinitos valores de la variable x.
Por analogía, las restantes relaciones circulares inversas se deducen en forma similar y se simbolizan, respectivamente, mediante:
3.1Gráficos de las relaciones circulares inversas
En el párrafo [6.3] del capítulo anterior presentamos los gráficos de las funciones circulares y = cos x, y = sen x, etc. Nos detendremos, en particular, en el gráfico de y = cos x ya que los demás se deducen por analogía. El gráfico de y = cos x son los puntos (x, y) = (x, cos x) = (arccosy, y); por lo tanto, el gráfico es el mismo. Ahora bien, si efectuamos la transformación en el plano dada por (x, y) ←→ (y, x), el gráfico (x, y) = (arccosy, y) obtendremos el gráfico de y = arccosx. La transformación anterior es una simetría con respecto a la diagonal de ecuación y = x. Dicha simetría también se consigue si el gráfico de y = cos x (éste aparece en la figura 6.13); si teniendo el gráfico de y = cos x en papel transparente con el eje
Gráfico de:
Fig. 3.1
Fig. 3.2
Fig. 3.3
Fig. 3.4
Fig. 3.5
Fig. 3.6
3.2Funciones circulares inversas o valores principales
Comenzaremos recordando que si f es una función de A en B, entonces es una relación de A en B y por tal motivo tendrá relación inversa de B en A. A continuación presentaremos el conocido resultado que entrega la condición necesaria y suficiente para que la función f de A en B no sólo tenga relación inversa de B en A sino que función inversa de B en A, o sea, que f−1 : B → A será función (conocida como función inversa de f y simbolizada por f−1).