Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán
3.2.1 Sea f : A → B función, entonces:
Problema 3.2.1 Sea
Demostrar que ella es biyectiva y encontrar la respectiva función inversa f−1 .
Solución:
Primero estableceremos que f es uno a uno. Pues bien, sean
de donde:
o sea:
luego, f es inyectiva.
Ahora demostraremos que f es epiyectiva. Para ello sea
de donde:
y, por lo tanto:
y, como:
o sea:
luego f es sobre.
Tenemos que f es biyectiva y de aquí su función inversa es:
Nota:
Tomando en consideración el resultado presentado en el teorema [3.2.1] (y restringiendo los dominios de las respectivas funciones trigonométricas o circulares) conseguiremos como aplicaciones a nuestro estudio los teoremas que presentaremos a continuación.
Teorema 3.2.2 La función cos : [0, π] → [−1, 1] es biyectiva, entonces su función inversa es:
Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.7.
Fig. 3.7
Teorema 3.2.3 La función sen :
Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.8.
Fig. 3.8
Teorema 3.2.4 La función
Definición 3.2.1
Fig. 3.9
Nota:
Para encontrar concretamente los valores de Arccos x = INVCOS x (y por analogía las restantes), acudimos a la calculadora colocando primeramente x en la pantalla y, a continuación, apretando las teclas INV y COS.
Teorema 3.2.5 La función cot : (0, π) → R es biyectiva, entonces su función inversa es Arccot = cot−1 : R → (0, π)
Fig. 3.10
Teorema 3.2.6 La función
Fig. 3.11
Teorema 3.2.7 La función
Fig. 3.12
3.3Identidades con valores principales
En este apartado resumiremos las identidades fundamentales que se presentan con las funciones circulares inversas o valores principales.
Teorema 3.3.1 Para valores principales se tiene que:
(1)
(2)
(3)