Entre el árbol y el bosque. Marcus
técnica de un gran matemático, sumada a una visión global, lo que le permitiría formular una solución a los problemas que por la época se presentaban, tanto la matemática, como la lógica.
La estructura del teorema de Godel (1931) no tiene gran importancia para nosotros, lo describiré brevemente, pero lo importante es su conclusión.
Godel, representó cada operación lógica con un número entero, y por un procedimiento matemático que incluía a los números primos, convertía esas operaciones lógicas en números, (números de Godel), y lo hacía de tal manera, que el método de conversión era totalmente reversible, de tal forma que teniendo el número de Godel, podíamos resolverlo y saber cuál fue la operación lógica que le dio origen, es decir desarrolló un método tal, que transformaba las operaciones lógicas en un solo número, y la relación entre ambas, al estar basado el procedimiento en números primos, es decir, que solo son divisibles por uno y por sigo mismos, era singular y biunívoca. A cada número de Godel le correspondía una operación lógica y viceversa.
Se puede demostrar que el desarrollo que conduce a un número de Godel, es totalmente reversible.
O sea, que dado un número de Godel podemos mediante un proceso volver a obtener la formula lógica que le dio origen.
Un conjunto de fórmulas u operaciones lógicas puede expresarse repitiendo el proceso, y dando como resultado otro número de Godel, que representa ese grupo y también es reversible.
Si bien esto se desarrolló para demostrar el teorema, el solo hecho de poder poner expresiones lógicas transformadas en números, tiene un enorme significado.
Si bien estamos lejos de tener capacidad para decodificar estos enormes números de Godel, provenientes de la codificación de información más o menos extensa, ya que nuestros potentes ordenadores, parecen contadores para bebés en este problema, sí importa el concepto de este método, porque es el método más compacto de guardar información que se conoce, mucho más que el sistema biológico de ADN, o cualquier otro conocido.
Volviendo al teorema de Godel, entonces, una vez que el obtenía su número de Godel de una fórmula, repetía el proceso para otras fórmulas para armar su teorema, de tal manera que si tenía varias fórmulas, obtenía un nuevo número de Godel que es la representación de ese conjunto de fórmulas.
David Hilbert (1862 – 1943), destacado filósofo y matemático alemán, proponía que cualquier teorema matemático debía tener un sustento lógico, concreto y firme, basado en un conjunto de axiomas, (que son los supuestos fundamentales para demostrar el teorema, y que forman parte del modelo), y cuya demostración es la simple y mecánica aplicación de operaciones matemáticas basadas solo en la lógica. Esto debía dar, como consecuencia, la demostración del mismo, y por estar la demostración basada en las operaciones lógicas, entonces el resultado final también es verdadero.
Existe en matemática y en lógica axiomas básicos que no deben ser demostrados, y que parecen ser muy razonables, como por ejemplo “El Todo es mayor que cualquiera de las partes”, o “una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismotiempo”, o “todo es mayor que lo más pequeño”
La consistencia lógica es una propiedad de un conjunto de axiomas.
Se dice que un conjunto de axiomas es consistente, si a partir de él no puede deducirse simultáneamente una proposición (p) y su contraria (–p, o no p).Un conjunto de axiomas será completo, si es capaz de definir perfectamente el sistema pudiendo dar origen a un teorema que demuestre las propiedades del mismo, si el conjunto de axiomas es incompleto, no se puede demostrar ni (p, ni no p).
Para comprender mejor esto pondremos un ejemplo clásico.
Supongamos que un inspector de policía reúne pruebas para determinar la culpabilidad de un acusado de un crimen.
Este deberá contar con la cantidad de pruebas suficientes, que no den lugar a dudas que este es el criminal, es decir si el sistema (conjunto de pruebas), no es “completo” no se puede demostrar si el individuo es culpable, o inocente.
Por otro lado debe elaborar una teoría sobre cómo sucedieron los hechos, que a su vez sea “consistente”, es decir que no se pueda demostrar a través de su explicación del hecho que el acusado es inocente o culpable a la vez.
Esta era, y fue el mecanismo que imperó, y que inspiró el pensamiento científico occidental durante la historia de nuestra ciencia, que aún está vigente en la mayoría de los científicos y técnicos actuales.
¿Que deseaba Godel?
Lo que quería demostrar Godel, que conocía los problemas de las paradojas, era demostrar si existen en matemáticas o lógica propuestas, teoremas o fórmulas, que mediante el uso de axiomas propios, puedan definir si sus resultados son correctos o no.
Esto es, que es imposible formular una matemática, o una lógica que se pruebe a sí misma consistente, que carezca de contradicciones, sin la ayuda de algo fuera de las matemáticas o fuera de la lógica, en algún punto se requerirá que usemos algún patrón, o una idea externa, o un postulado que sencillamente es imposible de probar.
Godel imaginó una demostración que contenía una fórmula en que el número de Godel estaba contenido en la fórmula, no importa el desarrollo detallado de este punto, que es de difícil comprensión, lo importante, es que al incluir su número de Godel en una fórmula desarrollada por el método de Godel, el sistema se estaba convirtiendo en un sistema auto–referencial, como ya vimos unos cuantos de estos sistemas auto–referenciales conducen a paradojas, y en este caso pasó exactamente lo mismo, es decir el sistema no era ni consistente ni completo.
Por lo que la fórmula no pudo ser demostrada, entonces Godelpudo así expresar su idea de que se necesitan soluciones “metamatemáticas” para la matemática, algunos postulados que están más allá de la matemática para definir ciertos problemas matemáticos, de no hacerlo, no tienen resolución y quedan en un callejón sin salida. Un ejemplo sencillo sería la utilización de la conocida fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, que nos da dos números (raíces), uno de los cuales es el que resuelve la ecuación en sentido real, y el otro, no lo hace, aunque cumple la ecuación, como por ejemplo, cuando esas variables representan una magnitud física, la masa de un cuerpo que no puede ser negativa. Entonces por criterio humano elegimos la solución positiva, si quiere el lector hacer la prueba resolviendo la ecuación (x2 + 2x = 0), (ver anexo 6), verá que tiene dos resultados que cumplen la ecuación, uno positivo y otro negativo, la elección final es meta–matemática, según la variable que se trate, ya que hay variables, como por ejemplo la cantidad de personas que hay en una sala, que no puede ser negativo, y esto la matemática no lo sabe.
Esto nos dice que jamás una computadora podrá tener la capacidad de un cerebro humano, ya que la misma quedaría atrapada en su conjunto de axiomas, por no disponer de capacidad para soluciones meta–matemáticas, las cuales los seres humanos sí tienen.
Godel es el Magallanes del siglo XX, muchos sabían desde épocas remotas que la tierra no era plana, sino que tenía forma esférica, pero solo Magallanes y Elcano lo demostraron a ciencia cierta al darle la vuelta al globo.
Es imprescindible que todos tomemos en cuenta el resultado del teorema de Godel, ya que en él implícitamente se están estableciendo “niveles de decisión”.
Esta sería la primera prueba cierta y científica de que los planos o niveles de un sistema se agotan, que en estos niveles, ya no se pueden encontrar soluciones satisfactorias, por lo que hay que acceder a otro nivel para solucionar estos problemas.
La necesaria búsqueda de “niveles” distintos de decisión es una prueba “intuitiva” de la existencia de estos niveles.
Todo esto, se puede relacionar con la mayoría de las ciencias, tanto exactas como sociales, ya que, no solo en matemáticas se nos presentan estos problemas, sino también en muchos aspectos de la vida, donde se deben tomar decisiones que superan el estado de la ciencia actual, o como en el caso de la medicina donde se producen, a veces,