Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera
de lavado limpia 12 autos en una hora (60 minutos) ¿cuánto tiempo tardará en lavar 25 autos?, ¿y 50?
Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en proporciones inversas.
Notación:
Ejemplo:
Observe que si duplicamos el n.° de obreros, el n.° de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadruplicamos, etcétera.
Se cumple:
2×24 = 4×12 = 6×8 = … = 48 (constante)
Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».
Graficando el ejemplo planteado líneas arriba, observamos que se trata de una hipérbola.
Actividad 1.17:
1. Indique con un «
a. La velocidad de un auto y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.
( )
b. El número de limpiadores de un edificio y el tiempo que tardan.
( )
c. El número de ladrillos de una pared y su altura.
( )
d. El peso de la fruta y el dinero que cuesta.
( )
e. La velocidad de un corredor y la distancia que recorre.
( )
f. El número de grifos de un depósito y el tiempo que tarda en llenarse.
( )
2. Un depósito de agua se llena en 18 horas con un grifo del que salen 360 litros de agua cada minuto.
a. ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si salieran 270 litros por minuto?
b. ¿Y si fueran 630 litros por minuto?
Reparto proporcional
Es un procedimiento que tiene como objetivo dividir una cantidad en partes que sean proporcionales a ciertos valores, llamados índices.
Clases:
1. Reparto simple: se llama así porque intervienen solo dos magnitudes proporcionales. Puede ser:
1.1. Directo : (cuando intervienen 2 magnitudes DP)
Analicemos el siguiente caso: un padre quiere repartir S/. 2000 entre sus tres hijos, cuyas edades son 8, 12 y 20 años. El padre piensa, con justa razón, que su hijo de 20 años tiene mayores necesidades económicas que su otro hijo de 8 años, entonces decide hacer el reparto DP a las edades de sus hijos. Esto implica que aquel hijo que tenga más edad, recibirá más dinero, y el que tenga menos edad, recibirá menos dinero. Veamos lo que sucede.
Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:
Recuerde que cuando dos magnitudes son DP el cociente entre ellas es una constante.
Entonces: 8k + 12l + 20k = 2000
Luego c/u le responde:
Podemos resolver el problema mediante el siguiente esquema práctico:
Observe que si simplificamos los tres números, la relación de proporcionalidad no se altera. Luego, la constante de reparto «k» se halla dividiendo la cantidad a repartir (S/. 2000) entre la suma de las partes (2,3 y 5). Finalmente, las cantidades recibidas por c/u se hallan multiplicando 2, 3 y 5 por k.
Actividad 1.18:
María, Pablo y Luisa se proponen vender 600 boletos de una rifa con el fin de recaudar fondos para rehabilitar la Casa de la Cultura de su pueblo. Se las reparten proporcionalmente a 3, 4 y 5, respectivamente ¿cuántos boletos debe vender cada uno?
1.2. Inverso: (cuando intervienen 2 magnitudes IP)
Analicemos el siguiente caso: un administrador quiere compensar a sus tres mejores empleados dándoles una gratificación por sus altos rendimientos. El problema es que los tres empleados tienen algunas faltas y desea que esa situación se vea reflejada en el reparto. Entonces, plantea repartir los S/. 39 000 en partes IP a sus faltas, que son 2, 3 y 4 días respectivamente. Esto implica que aquel empleado que tenga más faltas, recibirá menos dinero, mientras que el que tenga menos faltas recibirá más dinero. Veamos qué sucede.
Sean las partes A, B y C, tales que cumplen las siguientes condiciones:
Entonces, dividiendo la última expresión entre 12
(MCM (2; 3; 4)= 12):
Recuerde que cuando dos magnitudes son IP el producto entre ellas es una constante.
Luego:
A c/u le corresponde:
Podemos resolver el problema empleando el método práctico, planteado en el caso anterior:
No olvide: MCM (2,3,4) = 12
Observe que los números que representan las faltas de estos tres empleados se colocan invertidos (recuerde que el reparto es IP), luego si a cada uno de ellos se les multiplica por 12, la relación de proporcionalidad no se altera. Lo que se realiza a continuación es lo mismo que se ha descrito en el reparto anterior (reparto directo).
Actividad 1.19:
Adela quiere repartir S/. 2100 entre sus sobrinos Javier, Elena y Pablo, de manera inversamente proporcional a la edad de cada uno. Javier tiene 3 años, Elena 5 y Pablo 6 años ¿qué cantidad recibirá cada uno?
2. Reparto compuesto: se llama así porque intervienen más de dos magnitudes proporcionales.
Ejemplo:
Un gerente desea repartir una gratificación de S/. 42 000 entre sus tres empleados en partes DP a sus sueldos (S/. 3200, S/. 4200 y S/. 5400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días, respectivamente) ¿cuánto le corresponde a cada uno?
Solución:
Resolveremos el problema utilizando el método práctico: