Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera
solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: «proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante». Sucede que el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente, equivaldría a que un hombre levantará sobre su cabeza un tanque de 50 toneladas. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura y para competir con ella, un hombre debería saltar limpiamente la Torre Eiffel.
Por otra parte, debes tener en cuenta que el tema de proporcionalidad aparece estrechamente vinculado a nuestra vida cotidiana.
¿Has hecho un pastel?, ¿cómo calculaste las cantidades de sus ingredientes?. Por eso, para muchos de los problemas de la vida cotidiana, la proporcionalidad existente entre sus parámetros podemos resolverlos con la técnica maravillosa de la regla de tres, ya sea directa o inversa.
Pero, cuidado, algunas veces es una intuición la que nos dice si puedo o no emplear una regla de tres para resolver un problema. Y ante problemas como el siguiente: «Si Colón tardó tres meses en llegar a América con tres carabelas ¿cuánto habría tardado llevando seis carabelas?» A nadie de nosotros se nos ocurre emplear una regla de tres, ¿verdad?
Demostrar que puedes emplear una regla de tres implica probar que existe una dependencia lineal, directa o inversa, entre las dos magnitudes o los dos parámetros que está utilizando. Cuando esto es así, la solución del problema es muy sencilla.
PROPORCIONALIDAD INTERACTIVA (2014) (http://proporcionalidadinteractiva.blogspot.com/2012/10/normal-0-21-false-false-false-es-co-x_197.html) Blog dedicado a profundizar los conceptos relacionados con la proporcionalidad (Consulta: 20 de enero)
Objetivos
• Diferenciar las características que poseen las magnitudes según su naturaleza.
• Obtener conclusiones acerca de las relaciones que cumplen determinadas magnitudes que participan en casos particulares.
• Establecer una relación de las magnitudes con nuestra realidad cotidiana para un adecuado planteamiento de la resolución de un problema.
Introducción
La proporcionalidad numérica es un concepto que resulta a los alumnos complejo y difícil de comprender si no se ha adquirido soltura en aspectos como las operaciones de multiplicación y división de números enteros y por la unidad seguida de ceros, la equivalencia de fracciones, la fracción como expresión decimal y de una cantidad y el porcentaje.
A través de la comprensión de los conceptos de magnitud, proporción, razón y constante de proporcionalidad se aplican las proporciones y sus métodos de resolución de problemas a situaciones de la vida cotidiana.
Las relaciones entre magnitudes inversamente proporcionales plantean un mayor grado de dificultad y se estudiarán mediante relaciones entre proporciones.
Concepto de Magnitud
• Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera.
• Las magnitudes se expresan en unidades de medida.
Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera.
• Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud.
Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera.
Actividad 1.15:
1. Indique con una «
a. El peso de un saco de patatas.
( )
b. El cariño.
( )
c. Las dimensiones de tu carpeta.
( )
d. La belleza.
( )
e. Los litros de agua de una piscina.
( )
f. La risa.
( )
2. Indique dos unidades de medida para cada magnitud.
a. El precio de una bicicleta.
b. La distancia entre dos pueblos.
c. El peso de una bolsa de naranjas.
d. El contenido de una botella.
e. El agua de un embalse.
f. La longitud de la banda de un campo de fútbol.
Relación entre magnitudes
Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permiten deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia, considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación estudiaremos las dos magnitudes.
Magnitudes directamente proporcionales (DP)
Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas proporciones.
Notación:
Ejemplo:
Observe que si duplicamos el n.° de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etcétera.
Se cumple:
Se concluye que: «Si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad».
Graficando el ejemplo planteado al principio, observaremos que se trata de una recta, en efecto:
Actividad 1.16:
1. Indique con un «
a. El peso de naranjas (en kilogramos) y su precio.
( )
b. La velocidad de un auto y el tiempo que emplea en recorrer una distancia.
( )
c. El número de operarios de una obra y el tiempo que tardan en terminarla.
( )
d. El número de hojas de un libro y su peso.
( )
e. El precio de una tela y cuántos metros se van a comprar.
( )
f. La edad de un alumno y su altura.
(