Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera
antecedente consecuente
Actividad 1.13:
Un padre quiere repartir unos ahorros a sus dos hijos, pero al fin del mes uno de ellos se portó mal, por lo cual lo castigará dándole S/. 6000 menos que a su hermano. Si dispone de S/. 20 000 para repartir ¿cuánto le corresponde a cada uno?
b. Razón Geométrica: cada vez que se habla de razón en realidad se quiere hacer referencia a una razón geométrica.
La razón geométrica entre dos cantidades a y b es la comparación por cociente entre ambas, es decir, la división entre ellas. Este tipo de razón la podemos representar de dos formas: a través de un signo de división (÷ o:) o expresada en forma fraccionaria. De ambas formas se lee a es a b. Al igual que la razón aritmética el primer término se denomina antecedente, y el segundo, consecuente.
El tratamiento de las razones geométricas es similar al de las fracciones, es decir, se suman, restan, multiplican, dividen, simplifican y amplifican de la misma forma.
Ahora ¿a qué nos referimos específicamente cuando decimos 3 es a 5?, por ejemplo. La respuesta es muy sencilla: quiere decir que cada vez que tengamos 3 partes del antecedente tendremos 5 del consecuente, y en conjunto formamos 8 partes.
Actividad 1.14:
a. Al siguiente mes, el mismo padre (actividad anterior) tiene el mismo problema, uno de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos dinero que a su hermano, pero esta vez quiere que por cada S/. 3000 del hermano que se portó bien, el otro reciba solo S/. 2000, es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de S/. 20 000, ¿cuánto dinero le corresponderá a cada uno?
b. Los ángulos de un triángulo están a razón de 1: 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno es a dos es a tres), sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 grados ¿cuánto miden sus ángulos?
Proporciones
Una proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes.
a. Proporción Aritmética o Equidiferencia: es la igualación de dos razones aritméticas equivalentes. A la diferencia entre las razones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética.
Propiedad fundamental:
«En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios»
Ejemplo:
b. Proporción Geométrica o Equicocientes: una proporción geométrica (o simplemente proporción), es la igualación de dos razones geométricas equivalentes. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintos nombres, están los extremos que son el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda, y los medios, que son el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda.
Propiedad fundamental:
«En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es igual al producto de los medios»
Una proporción es continua cuando los medios de la proporción son iguales
Propiedades de las Proporciones Geométricas
Trabajemos en clase
1. Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones, calcule el valor de x:
2. Aplique las propiedades de las proporciones para resolver las siguientes situaciones matemáticas:
a. La suma entre dos números es igual a 175 y la razón entre ellos es
b. La diferencia entre el dinero que tiene Juan y el que tiene Gustavo es de $ 400. La cantidad de dinero de Juan es a la de Gustavo como 9 es a 7 ¿cuánto dinero tiene cada uno?
c. La suma entre dos números es igual a 10,5 y la razón entre ellos es
d. Un veterinario sabe que la ración diaria de alimento para un perro bóxer y un pequinés es de 2 kg. El perro bóxer come tres veces más alimento que el pequinés ¿qué cantidad de alimento consume cada perro?
e. Pruebe su ingenio y calcule los valores de a, b, c y d:
Ejercicios y problemas
Manejo de conceptos
1. Analice la proporción
a. La razón de la proporción es 4.
( )
b. 0,8 y 0,3 son los términos extremos.
( )
c. 0,2 y 0,3 son los términos medios.
( )
d. El producto de los términos medios es 0,25.
( )
e. El producto de los términos extremos es 0,24.
( )
f. La suma de los antecedentes entre la suma de los consecuentes es igual a la razón de proporcionalidad.
( )
g. Si 0,8 ×... = ...× 1,2; la suma de los términos que faltan es 0,5.
( )
2. En cada enunciado marque la alternativa correcta:
2.1 Podemos afirmar que una razón es:
a. La comparación de dos cantidades por cociente.
b. El producto de dos cantidades dadas.
c. La suma de dos cantidades.
d. La relación entre dos cantidades.
e. La igualdad entre dos cantidades.
2.2 Una proporción es:
a. La igualdad de dos cantidades.
b. El producto de dos razones.
c. El cociente entre dos razones.
d.