Fundamentos de matemática. Juan Egoavil Vera
Diremos que una proporción es directa si:
a. Al aumentar uno de sus valores el otro disminuye.
b. Al disminuir una de las cantidades la otra aumenta.
c. El producto de las cantidades se mantiene constante.
d. Al aumentar una de las cantidades la otra también lo hace.
e. Ninguna de las anteriores.
2.4 En una proporción inversa se mantiene constante:
a. El cociente de las cantidades relacionadas.
b. El producto de las cantidades relacionadas.
c. La suma de las cantidades relacionadas.
d. La diferencia de las cantidades relacionadas.
e. Ninguna de las anteriores.
Habilidades de cálculo
1. Dos números son entre sí como 7 es a 13, si al menor se le suma 140, para que el valor de la razón no se altere, el valor del otro número debe quintuplicarse. Halle el valor de los dos números.
2. Dos números son entre sí como 5 a 8, si la suma de sus cuadrados es 712 ¿cuál es el número menor?
3. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la misma relación con los números 11; 3 y 560. Halle el mayor de los números.
4. En una proporción continua geométrica los términos extremos son entre sí como 4 es a 9. Si los términos de la primera razón suman 40 halle la suma de los consecuentes de dicha proporción.
5. En una proporción geométrica discreta la diferencia entre los medios es 14. Halle uno de los términos medios si se sabe que el producto de los cuatro términos de la proporción es 2601.
6. En una reunión social por cada 5 hombres adultos que ingresan, ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niñas. Si en total ingresaron unos 572 niños y el número de hombres es al número de mujeres como 7 es a 4 ¿cuántos hombres asistieron a dicha reunión?
7. Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una cantidad misma, se obtiene 20; 28; 32; 44. Halle la suma de los términos de dicha proporción.
8. Se tiene 3 números enteros que son entre sí como 4; 7; 9. Si el cuadrado de la suma de los 2 menores números menos el cuadrado del mayor da 360, halle la suma de los 3 números.
9. ¿Cuál es el número entre el tercio proporcional y el tercio diferencial de 9 y 5?
10. Halle la razón de una proporción geométrica continua, sabiendo que la suma de sus términos extremos es a su diferencia como 25 es a 24.
Resuelva los siguientes problemas:
1. En una competencia de obstáculos de 800 metros, Andrés y Belisario vencen a Carlos y Danilo por 50 metros. En la misma distancia Andrés gana a Belisario por 100 metros y Carlos a Danilo por 160 metros. ¿Por cuánto ganará Carlos a Belisario en una carrera de 1125 metros?
2. La ciudad de Belfast está dividida en 2 bandos a raíz de la invasión angloestadounidense a Irak, los que están a favor y los que están en contra de la reyerta, respectivamente, de manera tal que la población de los primeros y la población de los segundos están en la relación de 7 a 3. Si de uno de los bandos se pasan al otro unas 60 personas, la razón de las poblaciones que están a favor y en contra de la guerra, respectivamente, se invierte ¿cuál es la población total de la ciudad?
3. En un club social se lleva a cabo una reunión donde asisten unas 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo por cada 3 de los primeros 2 de los segundos. Si al cabo de dos horas la relación entre hombres y mujeres es de 2 a 1 ¿cuántas parejas se retiraron?
4. En un concurso de baile el número de hombres y el número de mujeres están en la misma relación que 5 y 4, pero en un instante determinado del concurso el número de hombres que bailan es al número de hombres que no bailan como 5 es 3, por tanto, el número de mujeres que no bailan es al número de hombres que no bailan como: ..............
5. Dos piscinas contienen agua en cantidades que están en la relación de 8 a 5. Después de que haya entrado una misma cantidad de agua en ambas, se encuentran en la relación de 10 a 7. Enseguida, para que ambas contengan la misma cantidad de agua, se desaguan 900 litros de la primera ¿cuántos litros contenía inicialmente la segunda piscina?
6. Dos automovilistas parten simultáneamente al encuentro, con velocidades que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcule el espacio recorrido por el más lento hasta el momento del encuentro.
7. Tres automóviles de carrera recorren una pista circular con velocidades que son proporcionales a 4, 5 y 7, respectivamente. Si la suma de los tiempos que han tardado cada uno en dar la vuelta a la pista es 2 minutos y 46 segundos ¿cuánto tiempo ha tardado el más veloz en dar la vuelta a la pista?
8. Cierto número de clavos se divide en tres grupos cuyos números son proporcionales a 5, 7 y 11, respectivamente. Si del tercer grupo pasó al segundo 8 clavos, en el tercero quedaría el doble de lo que hay en el primero ¿cuántos clavos habría en el segundo grupo?
9. En 2 salones hay igual número de niños. Por cada 5 niños que salen del primero, del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno para irse a su casa. Cuando hay 50 niños en el primero, resulta que en segundo hay 20 ¿cuántos habían inicialmente en cada aula?
10. Las velocidades de 3 automóviles A, B y C son proporcionales 9, 4 y 8, respectivamente. A y B parten juntos de M al encuentro de C, quien parte de N al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. C se junta primero con A y después de recorrer 56 km desde este encuentro se cruzó con B ¿qué espacio recorrió B hasta confluir con C?
11. Antes, 5 lapiceros costaban tanto como 3 cuadernos, ahora que el precio de los lapiceros ha subido a S/.16 y el precio de los cuadernos a S/. 15 y resulta que 10 lapiceros cuestan tanto como 9 cuadernos. ¿Cuánto costaba antes cada lapicero?
12. En una granja hay 40 gallinas y hay 5 patos por cada 7 cerdos. Luego, el dueño de la granja compra 50 patos, 40 cerdos y un cierto número de gallinas ¿cuántas gallinas compró, si al final, el número de patos, cerdos y gallinas que posee ahora son proporcionales a 5, 6 y 8, respectivamente?
Páginas web para consultar
| Ejemplos, ejercicios y videos sobre razones y proporciones: | |
| http://polya.dme.umich.mx/Carlos/arqui/razon/RAZONES.htm | |
| http://profe-alexz.blogspot.com/2010/12/19-ejercicios-resueltos-de-razones-y.html | |
Magnitudes y reparto proporcional
Proporcionalidad en la vida cotidiana
En la vida corriente utilizamos el término proporción con distintos sentidos:
Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: «Este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado». Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo expresamos