Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán

Trigonometría y geometría analítica

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tiene:

(37)2^◦ 6′

(38)15^◦ 12′ 45″

(39)6,75 m. y 11,69 m.

(40)13,86 m.

(41)21,96 m.

(42)260,26m.

(43)3085,53 m.

(44)13,72 m.

(45)x = sen θ , y = 2sen θ + cos θ

(48)7,92 [km/h]

(49)192,9 [km/h]

(50) images 21,29 m. ; 25,79 m.

(51)29,4 m. ; 61,8 m.

(54)353,5 m.

(55)Se tiene:

(56)Se tiene

Capítulo 2

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

En este capítulo recordaremos la circunferencia canónica unitaria o goniométrica; estudiaremos las funciones trigonométricas, sus propiedades, generalizaremos las identidades ya vistas en el capítulo anterior y presentaremos también las fórmulas de prostaféresis.

2.1La circunferencia goniométrica

Tal como vemos en la figura 2.1, fijado en el plano un sistema cartesiano ortogonal y el respectivo sentido de orientación dextrorsum o positivo (contrario al de las manecillas del reloj), la circunferencia con centro en el origen O y con radio unitario se llamará circunferencia goniométrica o trigonométrica

Fig. 2.1

Tomaremos siempre la semirrecta images como lado origen para medir ángulos. Considerando la figura 2.2 el ángulo AOP será positivo o negativo según que el movimiento de images para coincidir con images se efectúe en el sentido dextrorsum o sinestrorsum.

Fig. 2.2

Pensando siempre con respecto a la figura 2.2 diremos que images es el diámetro principal y que images es el eje de los cosenos; que images es el diámetro secundario y que images es el eje de los senos (esto por razones que se verán en seguida). Es importante observar que un ángulo α determina un único punto P en la circunferencia trigonométrica y, en consecuencia, un único rayo images . Sin embargo, dado un punto P en la circunferencia goniométrica (y su correspondiente rayo images ) hay muchos ángulos que le corresponden, a saber, aquellos que difieren en un múltiplo de 2π.

Aquí extenderemos el concepto de razón trigonométrica, que servía sólo para ángulos agudos positivos, al de función trigonométrica o función circular, que sirve para ángulos de cualquier medida algebraica (positivos, negativos, agudos, obtusos, cóncavos, etc.).

Fig. 2.3

Definición 2.1.1 Tomando en cuenta la figura 2.3, donde aparece dibujado ≮ AOP = α, se llama:

(1)coseno del ángulo α al número cos α = abscisa de P = x ,

(2)seno del ángulo α al número sen α = ordenada de P = y ,

(3)tangente del ángulo α al número images

(4)cotangente del ángulo α al número images

(5)secante del ángulo α al número images

(6)cosecante del ángulo α al número images

Notas:

(1) Reiteramos que cada punto P de la circunferencia trigonométrica tiene por coordenadas (cos α, sen α), esto es, existe la correspondencia biunívoca expresada mediante P ←→ (cos α, sen α).

Sin embargo no hay relación biunívoca entre P y α. En efecto, muchos ángulos α, a saber, aquellos que difieren en vueltas enteras (positivas o negativas) determinan el mismo punto P de la circunferencia y el mismo rayo images .

(2) Al observar la figura 2.4, donde aparece otra circunferencia centrada en el origen O, con radio r ≠ 1, las coordenadas del punto P′ determinado en ella por el rayo images son:

Esto es a causa de la semejanza vista en el capítulo anterior.

(3) En la figura 2.5, nuevamente tenemos la circunferencia goniométrica y en ella al punto P(cos α, sen α) con

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