Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán
alt="images"/>. Se han trazado las rectas tangentes a la circunferencia en A(1, 0) y en B(0, 1). El rayo
Fig. 2.4
Fig. 2.5
(4) Signos de las funciones trigonométricas en los diferentes cuadrantes
De las definiciones resulta que las funciones trigonométricas pueden tener signo positivo o negativo, según sea el cuadrante (I, II, III o IV) donde está el punto P(cos α, sen α) ≡ P(α). La figura 2.6 se explica por sí sola.
Fig. 2.6
(5) Mirando las definiciones de las funciones goniométricas o circulares se deduce que:
Teorema 2.1.1 Se tienen las siguientes identidades fundamentales:
2.2Paridad y periodicidad de las funciones circulares
Comenzaremos este párrafo recordando los conceptos de paridad y periodicidad de las funciones reales.
Definición 2.2.1 Dada la función real f diremos que:
(1)f es función par ssi ∀ x ∈ dom f (f(−x) = f(x)) ,
(2)f es función impar ssi ∀ x ∈ dom f (f(−x) = −f(x)) .
Ejemplo 2.2.1 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función
Ejemplo 2.2.2 Siendo x ≠ 0 se tiene que la función
Notas:
Desde el punto de vista gráfico tenemos que:
(1) Cuando una función es par su gráfico es simétrico con respecto al eje de ordenadas, ya que si (x, y) está en el gráfico también deberá estar el punto (−x, y), situación que se observa en la figura 2.7.
Fig. 2.7
Fig. 2.8
(2) Cuando una función es impar su gráfico es simétrico con respecto al origen, ya que si (x, y) está en el gráfico también deberá estar el punto (−x, −y), situación que se observa en la figura 2.8 y si 0 ∈ dom f obviamente f(0) = 0.
Definición 2.2.2 Dada la función real (no constante) f diremos que ella es función periódica si existe número real positivo r tal que para todo x ∈ R se cumple que:
Al menor de tales r positivos para los que se cumple la propiedad señalada le llamaremos el período p de la función f, o sea:
Nota:
De la definición se deduce que si f(x + r) = f(x) también se tendrá:
como a la vez:
Ejemplo 2.2.3 Pensemos en la función real definida por:
donde existe z ∈ Z de modo que x ∈ [2z −1, 2z + 1[. Haremos ver que f tiene período 2.
En efecto, vemos que si ℓ ∈ Z y para x tal que:
se tiene:
Además, de 2ℓ − 1 ≤ x ≤ 2ℓ + 1 se consigue:
o mejor:
y, de ello, se desprende que:
o sea que el período podría ser r = 4.
Si nuevamente pensamos en x tal que:
o mejor:
y, con ello:
y de esto vemos que el período podría ser r = 2.
Haremos ver que el período es exactamente 2.
En efecto, supongamos que el período es p con 0 < p < 2 y pensemos en x = 0, así f(0) = 0. Pues bien, se presentan los casos:
(1)0 < p ≤ 1 ⇒ f(0