Trigonometría y geometría analítica. Gonzalo Masjuán

Trigonometría y geometría analítica

< p < 2 ⇒ f(0 + p) = |p − 2| ≠ 0 = f(0) .

Se concluye entonces que p = 2. Ahora pasamos a presentar en la figura 2.9 el gráfico de esta función periódica de período p = 2.

Fig. 2.9

Nota:

La periodicidad de una función (y similarmente con la paridad y la imparidad) permite estudiarla en un intervalo más restringido, pudiendo luego extender los resultados obtenidos a todo el dominio de la función. Esto haremos precisamente en el ejemplo que presentaremos a continuación.

Ejemplo 2.2.4 Dada la función real:

Se pide construir con ella el gráfico de g pero ahora con dominio R sabiendo que además de ser impar posee período 18.

Solución:

El gráfico de la función dada al comienzo del enunciado lo vemos en la figura 2.10.

Fig. 2.10

Fig. 2.11

Ahora, como debe ser impar procedemos a efectuar simetría en torno del origen al gráfico de la figura 6.10 resultando el dibujo de la figura 2.11 y observando esta última figura vemos que el gráfico tiene dominio [−9, 9] que justamente posee longitud 18, o sea, el período pedido. Por lo tanto, procedemos a iterar este gráfico obteniéndose la figura 2.12.

Fig. 2.12

Teorema 2.2.1 Para las funciones circulares se tiene que:

(1)y = cos x es par y periódica de período 2π.

(2)y = sen x es impar y periódica de período 2π.

(3)y = tg x es impar y periódica de período π.

(4)y = cot x es impar y periódica de período π.

(5)y = sec x es par y periódica de período 2π.

(6)y = cosec x es impar y periódica de período 2π.

2.3Gráficos de las funciones circulares

Tomando en cuenta los conceptos presentados en el párrafo anterior podemos dejar a cargo del lector el proceder a trazar los gráficos aproximados de las funciones circulares. Conseguirá los esbozos que presentaremos a continuación.

(1) Gráfico de y = cos x

Fig. 2.13

(2) Gráfico de y = sen x

Fig. 2.14

(3) Gráfico de y = tg x

Fig. 2.15

(4) Gráfico de y = cot x

Fig. 2.16

(5) Gráfico de y = sec x

Fig. 2.17

(6) Gráfico de y = cosec x

Fig. 2.18

2.4Algunas graficaciones

Ya conocemos el gráfico aproximado de la función y = sen x, que vemos nuevamente en la figura 6.19:

Fig. 2.19

Ahora deseamos encontrar el gráfico aproximado de la función y = Asen Bx, con A, B ∈ R⁺. A se denomina amplitud y es claro que el período de ella será images . En particular, tenemos el caso images donde A = 3 y images su gráfico aproximado lo vemos en la figura 2.20:

Fig. 2.20

Un caso más general es images donde C se conoce como constante de desfase images como desfasamiento, además si B > 0 , entonces images y el desplazamiento es hacia la derecha y si images desplazamiento es hacia la izquierda. Un caso particular es images luego, p = π y el desfasamiento es images el gráfico aproximado lo vemos en la figura 2.21:

Fig. 2.21

2.5Fórmulas de reducción

Teorema 2.5.1 Se tiene:

Teorema 2.5.2 Se tiene:

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